경도 (경사도, gradient)
1. 개념 - 딥러닝에서의 경사하강법 및 이미지처리에서 gradient 라는 용어가 사용된다. - 수학에서는 gradient 가 어떤 내용으로 되어있는지 예제를 통해서 알아본다. - Gradient 에는 기하학적 의미가 있다. - Gradient 는 방향도함수와 관련이 있다. - 2변수함수 및 3변수함수의 경도는 아래와 같이 표시한다. $$$z = f(x,y)$$$ 의 경도 : $$$\nabla{f}$$$ 또는 grad $$$f$$$ $$$u = f(x,y,z)$$$ 의 경도 : $$$\nabla{f}$$$ 또는 grad $$$f$$$ - Gradient 의 결과값은 벡터로 산출된다. 2. 계산 방법 - f를 x로 미분해서 x좌표자리에 두고, f를 y로 미분해서 y좌표자리에 둔다. $$$\nabla f(x,y) = (f_x,f_y)$$$ $$$=f_xi + f_yj$$$ - 3변수일때도 같은 방법을 사용한다. $$$\nabla f(x,y,z) = (f_x,f_y,f_z)$$$ $$$=f_xi + f_yj+f_zk$$$ 2-1. 예제 - $$$f(x,y) = x^2+y^2$$$ 의 점 (1,2) 에서 gradient? $$$\nabla f(1,2) = (f_x,f_y)_{(1,2)}$$$ $$$=(2x,2y)_{(1,2)}$$$ $$$=(2,4) = 2i+4j$$$ 3. Gradient 의 기하학적 의미 - $$$f(x,y) = z = x^2+y^2$$$ 은 아래와 같은 곡면이다. - x=1, y=2 일 때, 곡면위에 점을 생각해 볼 수 있다. 이 점을 지나면서 xy 평면에 평행하게 곡면을 잘랐을 때 곡선 ($$$x^2+y^2=5$$$) 이 생기게 된다. 이 곡선을 xy평면에 사영시키고, x=1, y=2 일 때, 접선을 구한다. x=1, y=2 일 때 접선의 수직인 벡터가 x=1, y=2 에서의 $$$\nabla f$$$ 이다. https://leechangyo.github.io/optimization%20method...