경도 (경사도, gradient)

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1. 개념

- 딥러닝에서의 경사하강법 및 이미지처리에서 gradient 라는 용어가 사용된다.

- 수학에서는 gradient 가 어떤 내용으로 되어있는지 예제를 통해서 알아본다.

- Gradient 에는 기하학적 의미가 있다.

- Gradient 는 방향도함수와 관련이 있다.

- 2변수함수 및 3변수함수의 경도는 아래와 같이 표시한다.

$$$z = f(x,y)$$$ 의 경도 : $$$\nabla{f}$$$ 또는 grad $$$f$$$

$$$u = f(x,y,z)$$$ 의 경도 : $$$\nabla{f}$$$ 또는 grad $$$f$$$

- Gradient 의 결과값은 벡터로 산출된다.


2. 계산 방법

- f를 x로 미분해서 x좌표자리에 두고, f를 y로 미분해서 y좌표자리에 둔다.

$$$\nabla f(x,y) = (f_x,f_y)$$$

$$$=f_xi + f_yj$$$

- 3변수일때도 같은 방법을 사용한다.

$$$\nabla f(x,y,z) = (f_x,f_y,f_z)$$$

$$$=f_xi + f_yj+f_zk$$$

2-1. 예제

- $$$f(x,y) = x^2+y^2$$$ 의 점 (1,2) 에서 gradient?

$$$\nabla f(1,2) = (f_x,f_y)_{(1,2)}$$$

$$$=(2x,2y)_{(1,2)}$$$

$$$=(2,4) = 2i+4j$$$


3. Gradient 의 기하학적 의미

- $$$f(x,y) = z = x^2+y^2$$$ 은 아래와 같은 곡면이다.


- x=1, y=2 일 때, 곡면위에 점을 생각해 볼 수 있다. 이 점을 지나면서 xy 평면에 평행하게 곡면을 잘랐을 때 곡선 ($$$x^2+y^2=5$$$) 이 생기게 된다. 이 곡선을 xy평면에 사영시키고, x=1, y=2 일 때, 접선을 구한다. x=1, y=2 일 때 접선의 수직인 벡터가 x=1, y=2 에서의 $$$\nabla f$$$ 이다.



https://leechangyo.github.io/optimization%20method/2019/10/08/Gradient-Methods/

https://mathweb.ucsd.edu/~ashenk/Section14_2.pdf




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